以 fChart 馭 Python：
遞迴函數（Recursive Functions）
Dec. 30, 2022
[1]遞迴是程式自己呼叫自己的一種抽絲剝繭的解題計巧。
因為這類的大問題是由其相同型式（pattern）的小問題所疊代（iterate）而增長而成的。所以，當問題空間（problem space）降低至易於處理的小大（size）時，我們就很容易從小問題的答案再往上一層一層回溯（backtrack）而組合出原大問題的解答。例如：欲求數列（sequence） 1, 1, 2, 3, 5, ... 的第 10 項為何數字，我們可以發現，這串數列好像有一個隱含的規律（implicit regularity）是：第 i 項是前兩項 (i-2), (i-1) 的和，當 i > 2 時。例如：5 = 3 + 2。
在表 1 的「10 大項目之 10」的 4 個實例（可從 https://reurl.cc/bGbkqM 下載）中將探討電腦科學（Computer Science，CS）中這類的經典（classical）遞迴問題──
將大問題拆解（divide）為小問題，再將小問題的答案逐步組合（combine）為大問題的解答。前題：大問題和小問題具有相同的結構性（structure）！
遞迴分析
在本小節中，我們甞試使用運算思維（computational thinking）的法則來分析費式數列問題：
步驟 1：拆解（decomposition）。我們設計了表 2 的費氏數列空白觀察表（observation table）來推敲此數列的生成（generate）過程。其結果如表 3 所示。
表 3：費氏數列前十項觀察表
步驟 2：模式辨別（pattern recognition）。從表 3 中，我們似乎可以看出 5 = 2 + 3，即
第 n 項的值為前兩項之和。
步驟 3：抽像化（abstraction）。根據以上的觀察，我們大膽的以圖 1 這個遞迴公式（recurrence formula）來猜測費氏數列的表現。註：讀者們可援用數學歸納法（athematical inducation）來證明它的正確性。
步驟 4：演算法（algorithm）。根據圖 1 的公式，我們可以圖 2 的流程圖來表式費氏數列的演算方法。
圖 2：費式數列的流程圖
原始問題
本文只詳述「10-02.呼叫Fib函數」：請計算費氏數列（Fibnacci number）第六項的值，
。其他三例請讀者們自行練習。
。其他三例請讀者們自行練習。首先，函數（function）的語法請參考前著「以 fChart 馭 Python：函數」（https://reurl.cc/aablVZ）一文。緊接著，從圖 中我們可以看到 Fib(n) = t1 + t2 = Fib(n - 1) + Fib(n - 2)，n = 6。其中，
Fib(6)= Fib(5) + Fib(4)= [Fib(4) + Fib(3)] + Fib(4) = 2 * Fib(4) + Fib(3)= 2 * [Fib(3) + Fib(2)] + Fib(2) + Fib(1) = 2 * Fib(3) + 3* Fib(2) + 1 = 2 * Fib(3) + 3 * 1 + 1 = 2 * Fib(3) + 4= 2 * [Fib(2) + Fib(1)] + 4 = 2 * [1 + 1] + 4 = 8
遞迴程式的撰寫格式為：def Fib(n): if (n <= 2): return (Fib(n - 1) + Fib(n - 2) else: return 1
數後，根據流程圖將 Python 程式轉換妥後以「10-02.呼叫Fib函數.py」存檔執行後就能看到如圖 3 所對應的執行結果。
def Fib(n):
if (n <= 2):
return (Fib(n - 1) + Fib(n - 2)
else:
return 1
圖 3：根據流程圖手動轉換為 Python 語法以求得 Fib(6) 之值
圖 3：根據流程圖手動轉換為 Python 語法以求得 Fib(6) 之值
